15 мая 2008 г.

1. Введение

Вслед за крушением социализма в Восточной Европе и Средней Азии начался упадок социалистической мысли в экономике. Если сравнивать положение в 1990-х с ситуацией, существовавшей за 40 лет до этого, то можно заметить, что если в 1950-е социализм и экономическое планирование воспринимались даже их противниками как вполне действенные способы ведения хозяйства, то в 1990-е положение резко изменилось. Повсеместно стало считаться само собой разумеющимся, что социализм был «богом, который потерпел неудачу», и что социалистические экономические модели, как показал суд истории, несостоятельны. В среде социалистических теоретиков произошло массовое отступление от идей, которые ранее считались бесспорными, началось движение к идеям рыночного социализма, в соответствии с тезисом о том, что рынок как таковой является политически нейтральным экономическим механизмом.

В то время как примирение с рынком, для любого знакомого с работами Маркса, полностью противоречило проделанному им критическому анализу гражданского общества [44], многие, тем не менее, поверили в эту идею. Прежние правящие социалистические партии, внезапно вынужденные стать оппозицией в возрождающихся капиталистических государствах, чувствовали, что они должны ограничить свои амбиции реформами в пределах рыночной экономики. Ретроспективно можно видеть, что середина 1970-х представляла собой пиковый период развития коммунистического движения. Пока вьетнамцы изгоняли США из Сайгона и последняя колониальная империя в Африке — Португальская — разваливалась, крах культурной революции в Китае готовил экономическую основу для триумфа капитализма в 1980-х и 1990-х. Когда после смерти Мао Дэн Сяопин внезапно открыл китайскую экономику для западных инвестиций, баланс экономических сил в мире нарушился. Появилась огромная резервная армия труда, готовая работать за самую низкую заработную плату. От страны к стране позиции бизнеса в его борьбе с национальными рабочими движениями существенно усиливались. Общая интеллектуальная/идеологическая среда сегодня, таким образом, намного менее благоприятна для социализма, чем это было в XX столетии. Это последствие не только контрреволюций, которые произошли в конце XX столетия, но и процесса нового и энергичного утверждения классических принципов буржуазной политической экономии. Это переутверждение буржуазной политической экономии не только преобразовало экономическую политику стран Запада, но также и подготовило идеологическое основание для контрреволюций на Востоке.

Теоретическая подготовка поворота к свободному рынку, который произошел в 1980-х, была осуществлена задолго до этого правыми экономическими теоретиками, такими как Хайек и Фридман. Их идеи, считавшиеся маргинальными в 1950-е и 1960-е, получили влияние в результате прозелитских действий таких организаций как «Institute for Economic Affairs» (Институт вопросов экономики) и «Adam Smith Institute» (Институт Адама Смита). Эти группы произвели на свет ряд книг и докладов, отстаивающих решения современных экономических проблем на основе свободного рынка. Их выкладки привлекли внимание видных политиков, таких как Маргарет Тэтчер, и с 1980-х начали воплощаться на практике. Тэтчер получила возможность осуществить это благодаря комбинации удачной краткосрочной конъюнктуры и долгосрочных демографических изменений в британском обществе. В пределах Великобритании рабочая сила была в дефиците, но в Азии её было более чем достаточно. Оставалось лишь обеспечить свободное перемещение капитала через границы к этому богатому источнику труда, и условия обмена между трудом и капиталом в самой Великобритании изменились бы. Труд не смог бы более сохранять выгодную позицию в борьбе с капиталом. Фактором, позволившим это, был профицит внешней торговли, базировавшийся на нефти Северного моря. До сих пор труд рабочих, производящих продукцию на экспорт, был крайне важен для выживания национальной экономики. А при наличии нефтяных доходов промышленному сектору можно было позволить исчезнуть, не опасаясь кризиса платёжного баланса. Преднамеренное сокращение обрабатывающей промышленности уменьшило социальную базу социал-демократии и ослабило позиции труда и в экономике и в политике.

Успех Тэтчер в её атаке на профсоюзное движение Великобритании ободрил набиравших силу на Востоке политических деятелей из среднего класса, вроде Вацлава Клауса, и явился предвестником всеобщего признания экономических постулатов Хайека и его последователей. Доктрина Тэтчер — TINA (There Is No Alternative — «Нет альтернативы [капитализму]») — была принята повсеместно. Господство в экономической мысли начала XXI столетия идей свободного рынка, настолько укрепилось, что эти идеи вслед за Тэтчер были приняты социал-демократами и теми, кто называл себя коммунистами. Обе противоборствующие группы стремились одновременно следовать классовым интересам, и в то же время сохранить собственное внутреннее единство. Капиталистический исторический проект взял за основу Декларацию прав человека и «Богатство народов» Адама Смита. На их основе было создано представление о будущем буржуазном или гражданском обществе, как о саморегулирующейся системе независимых индивидов, действующих ради достижения частных интересов. Через два столетия, когда возникла необходимость справляться с проблемами коммунизма и социал-демократии, наиболее дальновидные представители буржуазии возвратились к своим корням и вновь выдвинули изначальный Капиталистический манифест, применив его к текущему положению. У рабочего движения, в отличие от буржуазии, не было такого последовательного социального нарратива. Кейнсианская экономическая мысль обратилась лишь к техническим проблемам государственной монетарной и налоговой политики, не стремясь при этом к моральной и философской последовательности Смита.

Действие внешнеэкономических и демографических факторов, вызвавшее поворот к рынку, постепенно ослабевает. В течение следующих 20 лет огромные китайские запасы рабочей силы будут в значительной степени использованы, поглощены капиталистическим товарным производством. Во всем мире мы возвращаемся к положению, в котором Западная Европа находилась столетие назад: зреющая мировая капиталистическая экономика все еще активно эксплуатирует труд, но он уже становится дефицитным ресурсом. Ранее эти условия привели к классовому сплочению классической социал-демократии, дали начало ИРМ 1 , затем Конгрессу производственных профсоюзов США, а также усилили коммунистические партии в странах Западной Европы, таких как Франция, Италия и Греция после 1945. Возможно, сегодня мы наблюдаем такой же процесс в Южной Америке.

Эти обстоятельства ставят перед критической политической экономией XXI века новую задачу: дать отпор либеральной рыночной теории и вести её критику так же эффективно, как Маркс критиковал современных ему буржуазных экономистов. Исторический проект мировой бедноты может преуспеть, только если он утверждает свою собственную политическую экономию, свою собственную теорию будущего общества. Эта новая политическая экономия должна быть столь же нравственно последовательна, как политическая экономия Смита; должна предлагать экономически обоснованную политику, которая, будучи воплощенной в жизнь, открыла бы путь к новой посткапиталистической цивилизации, так же, как политэкономия Смита открыла пусть к цивилизации постфеодальной.

Критическая политическая экономия больше не может откладывать в долгий ящик детали устройства нерыночной экономики будущего. В XIX столетии это было допустимо, но не теперь. Мы не можем притвориться, что XX века не было, или что он ничему нас не научил в отношении социализма. В этом вопросе западные марксистские критики XX столетия, такие как Клифф, Беттельгейм или Бордига, позволят нам лишь до некоторой степени продвинуться вперёд. Указывая на слабости «реального социализма», они делали это, сравнивая его с якобы достижимым идеальным стандартом социализма, соответствовавшим их представлениям. Однако задним числом мы видим, что данные тенденции общественной мысли были продуктом особых условий холодной войны, борьбой за то, чтобы не быть идеологически зависимыми «ни от Москвы, ни от Вашингтона», а не реальным вкладом в политическую экономию. То самое психологичное отвлечение, которого искали эти авторы, стремясь уберечься от клеветы, направленной на СССР, не позволило им в конструктивном ключе рассматривать проблемы, стоявшие перед реальным социализмом. Чтобы найти дельные ответы на эти проблемы, необходимо было самому с ними столкнуться:

«Важна не критика, важным и значительным является вовсе не тот, кто указывает на ошибки сильнейших, или утверждает что «вот тут и тут» можно было сделать лучше. Куда важнее тот, кто стоит на арене, чьё лицо в пыли и крови, кто отважно борется, кто допускает ошибки, но пытается достичь успеха снова и снова, потому что не бывает никакого дела без ошибок или недочётов. И тот, кто испытывает большой энтузиазм, выказывает большое упорство в достижении цели, кто отдаёт себя достойному делу, знает, что в лучшем случае в конце его ожидает триумф, а в худшем — он потерпит неудачу, но неудачу в упорной борьбе. Именно поэтому никогда холодные и робкие души, не знавшие ни победы, ни поражения, не будут такому человеку ровней» (Теодор Рузвельт. «Гражданство в республике»).

В XIX столетии «Капитал» Маркса был критическим анализом политической экономии, лежавшей в основе британского либерализма. В XXI столетии критическая политическая экономия должна выполнить аналогичный критический разбор неолиберальной экономики, сопоставимый с «Капиталом» по строгости и моральной глубине. В особенности необходимо заняться тезисами австрийской школы: Бём-Баверка, Мизеса, Хайека, идеи которых сегодня служат краеугольным камнем консерватизма. Советский марксизм чувствовал себя достаточно сильным, чтобы проигнорировать их в своё время. На Западе ответ австрийской школе давали преимущественно маргинальные социалисты, такие как Ланге и Дикинсон. Если социализм хочет стать основой здравомыслия в XXI столетии, подобно тому, как это было в столетии ХХ, то в первую очередь необходимо нанести отпор именно идеям австрийской школы 2 .

В своей критике следует безо всякого стеснения использовать достижения других наук — статистической механики, теории информации, теории чисел. И, в целях восстановления научного социализма, необходимо категорически порвать со спекулятивной философской методологией большой части западного марксизма. Со времен Маркса примерно до середины XX века существенная доля левых интеллектуалов считала социализм и науку вещами неразрывными. Большинство ученых не были социалистами (хотя некоторые видные были), но марксисты расценивали науку как дружественную силу, созвучную их проекту, и даже чувствовали свою обязанность, как материалистов, отслеживать развитие научной мысли и оценивать значимость данного процесса для социальных вопросов.

Но с определенного момента, в 1960-е или около того, многие, если не большинство западных марксистских мыслителей, поддержали скептическое или враждебное отношение к науке и отдали предпочтение старым философским традициям, включая гегельянство. Неясно, почему это произошло, но вот несколько возможных причин:

— Концепция науки, встроенной в систему общественных отношений. Наука в буржуазном обществе — это, в первую очередь, именно буржуазная наука, а не инструмент для изучения действительности. Эта идея в явной форме нашла выражение в движении пролеткульта, раскритикованном Лениным, а позже была выражена в лысенковщине. Кроме того, в умах многих авторов наука была неразрывно связана с техникой. Появление ядерного оружия, без сомнения, сыграло роль в распространении враждебного отношения к ядерной энергии. Социобиология рассматривалась как враждебная прогрессивной общественной мысли: таким образом, союз между марксизмом и дарвинизмом был ослаблен. Эволюционная психология могла быть понята как явная апологетика (например [47]), и это не позволило левым мыслителям признать прогрессивных дарвинистов, таких как Докинз [15, 14].

— Альтюссер, французский коммунистический философ, был сторонником науки, но, возможно, невольно направил на путь иной многих своих последователей. Читая Альтюссера, легко представить себе, что слишком придерживаться Гегеля ошибочно, но эмпиризм — настоящий смертный грех. Приравняв эмпиризм к науке, вы заходите слишком далеко 3 .

— Использование термина «научный социализм» СССР и его официальными идеологами.

— Очевидный исторический факт, заключающийся в том, что наука, в отличие от социализма, успешно развивалась на Западе. Это подрывало идею одновременной эволюции марксизма и науки.

Независимо от того, в чём была причина, эффект был таким, что, в если, например, в 1930-е «типичный» молодой марксистский интеллектуал имел научное образование, или, по крайней мере, уважение к научному методу, то на рубеже веков с большим трудом можно было найти молодого марксистского интеллектуала (в ведущих западных странах), сведущего в какой-либо области, кроме социологии, счетоводства, континентальной философии или, возможно, некоторой «мягкой» (квазифилософской) формы экономики, и который не был бы глубоко скептично настроен по отношению к современной науке (а также весьма слабо осведомлён о ней) 4 .

Вопреки этой западной марксистской традиции, необходимо рассматривать политическую экономию и теорию социальной революции как научные дисциплины. Мы должны сформулировать гипотезы для проверки, которые затем сопоставим с эмпирическими данными. Если эмпирические результаты разойдутся с нашими ожиданиями, необходимо будет изменить и повторно проверить выдвинутые теории.

Кроме того мы должны возродить и воздать должное достижениям политической экономии, которые являются продуктами советского опыта: методу материальных балансов, использованному в подготовке 5-летних планов и обобщённому в виде анализа «затраты-выпуск» Леонтьева; методу линейного программирования, разработанному Канторовичем; бюджетам времени Струмилина. В этой статье я сосредотачиваюсь, главным образом, на возвращении в обиход идей Канторовича, единственного советского лауреата Нобелевской премии по экономике, и показываю, что своими трудами он дал фундаментальный теоретический ответ фон Мизесу. Канторович был выдающимся математиком, деятельность которого была намного шире экономики, но в этой статье меня интересуют только его достижения в данной области. Разбирая их, в разделе 3.3 я воспроизвожу некоторые подлинные числовые примеры Канторовича, связанные с его опытом работы в советской тяжелой промышленности. В то же время я избегаю детального описания математических методов (алгоритмов), разработанных Канторовичем и Данцигом, во-первых, потому что читатели, скорее всего, не являются специалистами в области линейной алгебры, и, во-вторых, потому что эти методы сегодня реализованы в виде пакетов программного обеспечения с открытым исходным кодом, которые могут использоваться без привлечения специальных знаний. Разделы 3.3 и 3.4 являются по существу учебным пособием по использованию одного из таких пакетов для решения задач планирования. Я в общих чертах предлагаю практическое применение данных математических методов: какие экономические задачи они позволяют нам решать?

Для наглядности я попробую сосредоточиться на том, как Канторович рассматривает проблематику компромиссного использования природной среды на уровне стран и континентов. От этого я перейду к вопросу о том, как идеи Канторовича затрагивают критику социализма австрийской школой. Каково их значение для будущего экономического планирования? Что было достигнуто в этой области со времён Канторовича, и каковы политические последствия этих достижений?

2. Что такое экономический расчёт?

Современному человеку ответ кажется достаточно простым: экономический расчёт подразумевает сложение затрат в денежном выражении. Сравнивая затраты денег с денежной выручкой, можно достигнуть рационального — максимизирующего богатство — способа действия. В известной работе [58] австрийский экономист Мизес утверждал, что только в рыночной экономике, в которой есть деньги и денежные цены, возможен подобный вид экономической рациональности.

Такие заявления весьма радикальны; если они верны, то социализм невозможен. Доминирующая марксова концепция социализма предполагает отмену частной собственности на средства производства и отмену денег, но Мизес утверждал, что «каждый шаг, который отдаляет нас от частной собственности на средства производства и использования денег, также отдаляет нас от рациональной экономики» ([58]: 104). Плановая экономика Маркса и Энгельса неизбежно начала бы «искать в потемках», производить «абсурдную продукцию бесчувственного аппарата» (106). Марксисты противопоставили рациональное планирование предполагаемой «анархии» рынка, но, согласно Мизесу, эти заявления были совершенно необоснованными; скорее отмена рыночных отношений уничтожила бы единственное адекватное основание для экономического расчёта, а именно, рыночные цены. Даже действующие из лучших побуждений социалистические плановики попросту не имели основания для принятия обоснованных экономических решений: социализм — ничто иное как «отмена рациональной экономики».

Что касается природы экономической рациональности, ясно, что Мизес имеет в виду проблему производства максимально возможного полезного эффекта (удовлетворения потребностей) на основе заданного количества экономических ресурсов. Проблему можно описать с другой стороны: как выбрать самый эффективный метод производства, чтобы минимизировать стоимость достижения заданного полезного действия. Мизес неоднократно возвращается к последней формулировке в своей критике социализма, прибегая к примерам построения железной дороги и постройки дома 5 : как социалистические плановики могут найти метод наименее затратной постройки этих объектов?

Согласно Мизесу, есть три рациональных способа принятия решений: планирование в натуральной форме, планирование на основе «объективно распознаваемой единицы стоимости», не связанной с рыночными ценами и деньгами, такой как трудовое время, и экономический расчёт, основанный на рыночных ценах. Я продолжу исследовать весьма важные аргументы Мизеса в разделе 3, но сначала разберу вопрос о том, может ли существовать альтернативная интерпретация понятия экономического расчёта.

Ясно, что расчёт в денежной форме удобен для решения задач минимизации или максимизации. Мы можем использовать деньги, чтобы узнать, какие из возможностей дешевле, или какие продажи приведут к получению максимальной прибыли. Но если мы рассмотрим вопрос более подробно, то увидим, что большое количество расчетов должно быть произведено задолго до того, как станет возможным переход к деньгам. Давайте возьмём в качестве примера строительство здания, несколько более крупного, чем простой дом — первой пирамиды в Саккаре, созданной Имхотепом [4]. Чтобы построить пирамиду, Имхотеп должен был произвести массу расчётов. Он должен был, например, знать, как вычислить объем пирамиды, прежде чем она будет построена ([32], p.40), что требует довольно хорошего знания геометрии 6 . Исходя из расчетного объема пирамиды, и знания размера камней, которые планировалось использовать, Имхотеп мог вычислить, сколько камней потребуется для строительства. Зная темп, с которым каменщики способны укладывать камни, он мог оценить, в течение какого периода времени должны быть задействованы различные виды рабочей силы, чтобы установить все камни на свои места. Зная число камней, а также зная, сколько людей необходимо для транспортировки каждого камня, Имхотеп мог определить количество работников, требующихся для перемещения камней от карьера до пирамиды.

Рабочим необходимо питание, следовательно, нужны пекари, пивовары и мясники ([13], 6). Имхотеп или его писцы должны были вычислить, сколько требовалось таких работников. Также необходимо было оценить количество зерна и скота. В широком смысле слова это всё было экономическим расчётом, но этот расчёт производился без привлечения денег, которые в то время ещё не были изобретены. Можно, конечно, возразить, что это не то, что Мизес подразумевал под экономическим расчётом, что вычисления Имхотепа «в натуральной форме» являются не экономическим, а техническим расчётом, простым списком необходимых ресурсов, так как здесь отсутствовала их оценка. Очевидно, что это было не то, что фон Мизес понимал под экономическим расчётом, — вопрос в том, прав ли он был, ограничивая понятие «экономический расчёт» расчётом в денежной форме? Расчёты Имхотепа показывают, что определение Мизеса, возможно, было слишком узким. Если бы пирамида строилась в наши дни, большая часть необходимых расчётов была бы аналогичной. Всё ещё необходимо определить, сколько камня будет использовано, сколько различных типов труда будет применено, как камень должен транспортироваться и т.д. Это будет существенно более сложной частью расчёта, чем его денежная часть.

Рассмотрим проблему выбора наиболее экономного варианта. Имхотеп, конечно же, должен был задаться этим вопросом. Строительство пирамиды является грандиозным мероприятием даже по современным масштабам. Чтобы воплотить этот проект в жизнь, необходимо было не только решить проблему устойчивости сооружения, но также разработать практический метод, при помощи которого камни могли бы быть подняты для установки на своё место. Это было довольно сложной задачей, что подтверждается тем фактом, что мы до сих пор не знаем наверняка, как это было сделано. Существуют различные предположения: установка под прямым углом к стене пирамиды наклонных пандусов, по которым волоклись камни; спиральные пандусы, оборачивающие пирамиду; внутренние туннельные пандусы; множество ручных подъемных кранов и т.д. Если мы сейчас представляем себе большое количество возможных путей, которыми это могло быть сделано, то можно предположить, что в таком же положении были и строители пирамиды, прежде чем отдать предпочтение методу, который они, в конце концов, и использовали. Доступные им трудовые ресурсы не были бесконечны, следовательно, они должны были найти подход, который был бы выполним как технически, так и экономически. Это — пример рационального выбора, который Мизес считал невозможным без денег, но тот факт, что пирамиды всё-таки были построены, указывает на то, что в некоторых случаях расчёты подобного вида всё-таки производились.

Основным ограничением здесь было количество используемой рабочей силы; ни один разумный архитектор не принял бы вариант, предполагающий существенно большие трудозатраты, чем в других вариантах. В докоммерческой экономике, какой была экономика Древнего Египта, это ограничение появляется непосредственно, в коммерческой же экономике ограничение по труду появляется косвенно в виде стоимости, выраженной в денежных единицах. Классическая школа политэкономии утверждала, что денежные отношения маскируют трудовые отношения, денежные затраты скрывают трудовые затраты; деньги, с точки зрения Адама Смита, это, в конечном счете, власть распоряжаться чужим трудом.

3. Планирование в натуральной форме

Организационная задача, стоявшая перед архитектором пирамиды, была весьма масштабной. Раз она была решена без привлечения денег, значит, расчёт в денежной форме не был необходимым условием успеха. Но усложнение проекта усложняет и планирование в натуральных единицах. Мизес в связи с этим утверждает, что оптимизация в сложных системах обязательно приобретает форму явной максимизации скалярной целевой функции (величина прибыли при капитализме — хрестоматийный её пример), и что максимизация выручки или минимизация затрат — это единственная объективная скалярная функция, применимая в данном случае. Мизес настаивал на невозможности планирования в натуральной форме, поскольку, по его мнению, человеческий ум ограничен в решении сложных задач.

Можем ли мы привлечь к решению сложных задач планирования в натуральной форме какие-либо иные средства, кроме отдельного человеческого интеллекта?

Есть две системы, претендующие на эту роль:

1. Бюрократия. Бюрократия составлена из отдельных людей, но взаимодействуя при обработке информации, они могут решать задачи, которые не под силу одному человеку.

2. Компьютерные сети. Каждого, кто знаком со способностью Google 7  собирать и анализировать информацию, не нужно убеждать в том, что компьютеры могут перерабатывать информацию такого объёма и сложности, которая обескуражила бы одного-единственного человека. Следовательно, компьютерная сеть способна производить экономические расчёты, намного превышающие возможности отдельного человеческого интеллекта.

В более общих чертах, как указал Тьюринг [55], любой масштабный расчёт, производимый людьми, зависит от рукотворных «памятных записок» (aides memoire), папируса, глиняных табличек, грифельных досок и т.д. При наличии таких помощников памяти алгоритмическое вычисление становится возможным, и в этом пункте нет различия между тем, что может быть вычислено человеком при помощи бумаги и карандаша и тем, что может быть вычислено при помощи компьютера. Различие заключается только в скорости [53, 54]. Таким образом, нет никакой принципиальной разницы между планированием при помощи бюрократии и планированием при помощи компьютеров, однако на практике существует большое различие в сложности задач, которые могут быть решены в ограниченный период времени.

Очевидно, что процедура экономического расчёта, которую предложил фон Мизес, была прежде всего алгоритмической. Она основана на следующем неизменном процессе:

1. Для каждой возможной техники производства:

(a) формируется перечень материалов,

(b) используется прейскурант, чтобы преобразовать его в список денежных затрат,

(c) затраты суммируются с целью получения суммарных затрат на проект.

2. Выбирается такой метод производства, который обеспечивает наименьшие суммарные затраты.

Мы возвратимся к проблеме Мизеса после рассмотрения взглядов его оппонента — Нейрата.

3.1. Изначальный аргумент Нейрата

Мизес первоначально вёл полемику с Отто Нейратом. В своей статье, датированной 1919 годом, Нейрат утверждал, что социалистическая экономика будет в состоянии вести экономический расчёт в натуральной форме, а не посредством денег [42], хотя он вроде бы и не предлагал практического средства для решения этой задачи [56]. Мизес куда более широко известен в англоязычном мире, чем Нейрат, главным образом потому, что переводы экономических работ Нейрата появились сравнительно недавно. Тот факт, что у читателей Мизеса не было прямого доступа к идеям, которые он критиковал, по-видимому, придал дополнительный вес аргументам Мизеса. Поэтому следует разъяснить, что Нейрат подразумевал под расчётом в натуральной форме, чтобы понять, насколько справедливы были критические замечания Мизеса.

В своей статье 1919 года Нейрат утверждает, что опыт экономики военного времени позволил увидеть определенные ключевые слабости экономической мысли прошлого.

Общепринятая экономическая теория находится в слишком тесной связи с денежной экономикой и до сих пор почти полностью пренебрегала экономикой натуральной. ([42], стр. 300)

Экономика военного времени, напротив, была в значительной степени натуральной.

В военных условиях натуральный расчёт применялся чаще и систематичнее, чем прежде... Было очевидно, что средствами ведения войны были боеприпасы и продуктовые поставки, а не деньги. ([42], стр. 304)

Рассмотрение качества жизни с натуральной точки зрения. Нейрат утверждает, что оно представляет собой возвращение к изначальным задачам экономики — науке о домашнем хозяйстве и науке государственного управления. Смит был особенно обеспокоен реальным, а не денежным богатством общества, но об этом забыли более поздние экономисты, которые сконцентрировались на денежных показателях. Нейрат защищал явно эпикурейский подход к экономике, определяя его как общественное эпикурейство. Нейрат утверждал, что это эпикурейство также лежит в основе взглядов Маркса, хотя если верить докторской диссертации последнего [34], Нейрат с его акцентом на эмпирическом исследовании реальных условий был ближе к Демокриту. Если нужно узнать, улучшалось ли реальное качество жизни населения, то нужно изучить жизнь людей в натуральном, а не денежном разрезе [41]. Нейрат писал, что экономика должна изучать счастье и качество реальной жизни. Для этого экономисты должны собирать детализированные статистические данные качества жизни различных групп населения. Собираемые сведения должны были включать не только данные о потреблении пищи, одежде и условиях жилья, но также информацию о смертности, заболеваемости, уровне образования, досуге, испытываемых людьми чувствах бессилия или, напротив, силы.

С некоторой надеждой на успех мы можем попытаться собрать все условия жизни в большие группы и упорядочить их согласно степени вызываемого ими улучшения качества жизни. Мы можем, например, определить, какую пищу люди потребляют ежегодно, каковы их жилищные условия, что и в каком объеме они читают, какие события происходят в их семейной жизни, как много они работают, как часто и как серьезно они болеют, сколько времени они отводят прогулкам, отправлению религиозных обрядов, наслаждению искусством и т.д. Мы можем даже определить некие средние биографии, отклонения от которых будут несущественными при проведении приблизительных исследований. Таким же образом мы можем определить условия жизни целых групп людей, вычислив процент заболеваемости различными болезнями, процент смертности в определенном возрасте, процент живущих в различных типах жилья и т.д., наконец, даже процент тех, кто живет в особых условиях. Очевидно, что свойства, которые могут быть измерены и определены количественно, лучше подходят для анализа, чем плохо поддающиеся изменению, такие как религиозность, артистизм и т.п. Но нужно остерегаться мнения, что все те свойства, которые легче поддаются формализации, являются более важными или принципиально отличными от прочих. Профессиональный престиж, например, является такой же частью приобретаемых благ, как еда и питье. ([41] с. 326)

Нейрат указывает на то, что по сравнению с такой натуральной статистикой показатель национального дохода является куда менее содержательным. В особенности он предостерегает от использования величины «реального дохода» (денежного дохода с поправкой на инфляцию) как показателя качества жизни. Такой «реальный доход» — только отражение денежного дохода, поэтому он принимает во внимание лишь те блага, которые куплены и проданы как предметы потребления.

Общепринятые в наши дни определения потребления и [так называемого] реального дохода также являются очевидными производными денежного расчёта. В соответствии с нашим собственным подходом к экономической эффективности, следует учитывать труд и болезни в рамках концепции, которая берёт в расчёт пищу, одежду, жилье, визиты в театр и т.д. Эти вещи, однако, не являются частью [общепринятых] понятий потребления и реального дохода, которые учитывают лишь то, что появляется как отражение денежного дохода. Реальный доход [в этом смысле] не несёт большой смысловой нагрузки в нашем подходе к исследованию экономической эффективности. ([41] с. 336)

То, о чём говорит здесь Нейрат, выглядит очень современно. Сегодня мы видим распространение признания недостаточности одного лишь денежного показателя национального дохода для оценки качества жизни населения страны. Цели развития ООН учитывают этот вывод и приводятся в натуральных показателях. Примечательно, что этим аспектом аргумента Нейрата в поддержку натуральной экономики фон Мизес и его последователи пренебрегли. Нейрат утверждает, что фон Мизес в конечном счёте вынужден прибегнуть к понятию натурального субстрата благосостояния, по отношению к которому должны быть оценены различные денежные показатели. Мизес признаёт, что монополия снижает благосостояние следующим образом:

У него (Мизеса) есть замечательное суждение: «Но они, конечно, являются менее ценными товарами, которые не были бы произведены и потреблены, если бы могла быть удовлетворена потребность в большем количестве продуктов монополий. Различие между ценностью этих товаров и более высокой ценностью массы не произведённых продуктов монополий представляет собой урон в благосостоянии, который монополия причинила народному хозяйству» 8 . Мы видим, что здесь Мизес также обращается к понятию благосостояния, которое, что совершенно очевидно, не связано с деньгами, так как оно используется для того, чтобы оценить денежный расчёт, в данном случае для монополий. Если для монополии, согласно Мизесу, денежные расчёты можно оценить с точки зрения приносимого ими благосостояния, то эту оценку можно сделать и в случае любых других экономических процессов. ([40], с. 429)

Нейрат здесь защищает различие между меновой и потребительной стоимостью, которое идёт от Аристотеля [2, 36] и на котором основан ключевой нижний слой марксова анализа товара [35].

Натуральный расчёт в производстве. Нейрат был непреклонен в том, что социалистическая экономика должна быть безденежной. В этом он был ортодоксальным последователем Маркса и его взгляды были куда более радикальными, чем послевоенный коммунизм советского правительства. Нейрат неоднократно подчеркивает, что социалистическая экономика не может использовать единственную скалярную единицу в своих вычислениях, будь то деньги, трудовые часы или киловатт-часы. Это относится одновременно к:

1. невозможности измерения конечных результатов в одних и тех же единицах, с точки зрения качества жизни сейчас и с точки зрения качества жизни в будущем,

2. сложности технических ограничений, налагаемых на производство.

Корни акцента на невозможности измерения в одних и тех же единицах лежат в идеях Нейрата относительно измерения результатов, качества жизни сейчас и качества жизни в будущем:

«Положительные величины» социалистического заказа не являются тем же самым, что «прибыль» при капитализме. Экономия угля, леса, и т.д. выливающаяся позднее в уменьшение неудовольствия от работы означает сохранение будущего удовольствия, положительной величины. Например, трата угля сегодня для глупых вещей будет повинна в том, что люди будут замерзать в будущем. В то же время мы можем дать здесь только приблизительную оценку. Экономия определенного сырья может стать бессмысленной, если будет открыто что-то новое. Будущее фигурирует в деловых ведомостях капиталиста лишь постольку, поскольку ожидается спрос. Замерзающие люди в будущем появляются только тогда, когда в настоящем существует спрос на будущий уголь. ([40], с. 470)

Нейрат следует за Марксом в допущении использования трудовых чеков как возможного средство распределения товаров, при условии что общество выберет именно этот путь, но отрицает, что у такого метода есть какое-то нетрадиционное значение. Особое внимание он уделяет тому, что расчёты, основанные на рабочем времени, неадекватны при внутреннем регулировании производства. Такие расчёты предполагают долгосрочный временной масштаб и отсутствие ограничений в природных ресурсах. Если существует ограниченность природных ресурсов или нехватка специфического оборудования в краткосрочной перспективе, расчёты, основанные на времени труда, могут исказить представления о том, что может быть произведено.

Как пункты могут быть назначены отдельным элементам потребления? Если бы существовали естественные единицы работы, и если можно было бы определить, сколько естественных единиц работы «социально необходимым» способом было потрачено на каждый элемент потребления, и если бы, кроме того, было возможно произвести любое количество каждого элемента, то при некоторых дополнительных условиях каждому элементу можно было бы назначить число пунктов, которые представляют «трудозатраты» для него. [...] Предположим теперь, что распределение осуществлено посредством свободного выбора потребителей пропорционально затраченному ими труду. [...] некоторое сырьё будет в дефиците, и возникнет нужда экономить. Если существует повышенный спрос на элементы потребления, при производстве которых расходуется дефицитное сырьё, то придётся либо ввести нормирование, либо увеличить количество пунктов для этих элементов потребления сверх числа, представляющего труд, затраченный на их производство. И наоборот, для элементов, пользующихся небольшим спросом, придётся снизить число пунктов относительно числа, соответствующего производственным трудозатратам. ([40], с. 435-436)

Эти аргументы не производят впечатления непреодолимых препятствий к использованию трудовых чеков для распределения конечных продуктов. Можно представить, что существует своего рода налог на природные ресурсы для товаров, производство которых не может быть расширено до тех объёмов, чтобы число пунктов распределения стало равно труду, затраченному на их производство. Выручку, получаемую за счёт такого налога, можно использовать для организации бесплатных общественных услуг. Но замечание о недостаточности трудовых величин для внутреннего регулирования производства следует признать правильным. Взамен Нейрат предлагает детализированную статистику по потреблению и использованию каждого типа сырья и промежуточного продукта. Он предлагает систему с двумя таблицами, содержащими натуральные показатели для каждого вида сырья и промежуточного продукта X.

1. Первая таблица содержит в количественных показателях объём производства продукта X, объёмы его импорта, экспорта и всех видов использования. Он приводит пример, в котором описывается процесс добычи и использования медной руды в Германии в 1918—1919 гг.

2. Другая таблица содержит сведения о сырье, типах труда и промежуточных продуктах, которые расходуются при создании X.

Учёт балансов в натуральной форме будет использоваться для того, чтобы проверить соответствие производства и использования между этими различными таблицами. Если внимательно взглянуть на предлагаемый Нейратом способ, то можно заметить, что, хотя данные в нём представляются в виде двух различных таблиц, эти таблицы содержат одну и ту же информацию, соответствующую строкам и столбцам матрицы «затраты-выпуск». Основное отличие в том, что в распространённых на Западе матрицах «затраты-выпуск» все величины представляются в денежном выражении, в то время как Нейрат предлагает указывать их в натуральных единицах: тоннах, литрах и т.д. С момента написания работы фон Неймана (обсуждаемой ниже) мы привыкли представлять техническую структуру, вещественные потоки экономики в матричной форме. Использование подобных матриц позволяет представить экономические данные в лаконичных терминах матричной и векторной алгебры, чтобы затем иметь возможность обратиться за помощью к алгебраическим теоремам. Однако есть существенное различие между построением абстрактных математических доказательств и осуществлением практического управления экономикой.

Матричное представление фон Неймана, конечно, более изящно с точки зрения математики, но как практический инструмент для экономического расчёта у системы Нейрата есть большие преимущества. Предположим, что в Германии в 1919 было 200 000 различных индустриальных продуктов для учёта. При печати таблиц «затраты-выпуск» в наши дни на одном листе формата A3 помещается около 80 продуктов. Полная матрица «затраты-выпуск» в стиле фон Неймана или Леонтьева для 200 000 продуктов содержала бы в таком случае более 6 миллионов страниц. Причём подавляющее большинство этих страниц были бы пустыми. Если взять пример Нейрата с медной рудой и несколькими дюжинами использующих её литейных заводов, то строка, соответствующая медной руде, в полной матрице «затраты-выпуск» фон Неймана будет пустой (или заполненной нулями) на тысячах страниц. Аналогичная же таблица Нейрата заняла бы всего одну страницу. Представление, рекомендуемое Нейратом, аналогично тому, которое используется в современных компьютерных вычислениях для работы с большими матрицами. Это так называемое представление для «разреженных матриц». Преимущества этого представления для планирования с использованием компьютеров рассматриваются в [9], гл. 6.

Но если мы на мгновение обратимся к матричному представлению, знакомому современным экономистам, то сможем понять, почему Нейрат настаивал на произведении расчётов при социализме в натуральной форме, а не в какой-либо суррогатной единице, такой как единица труда или энергии. Когда мы осуществляем учёт в денежных единицах (или заменяем деньги трудом), то складываем величины, расположенные в каждом столбце матрицы «затраты-выпуск», чтобы получить вектор конечной продукции в денежном (трудовом) выражении. Система цен, таким образом, представляет собой огромное искажение информации. Матрица технических коэффициентов схлопывается в вектор, при этом реально существующие натуральные экономические ограничения исчезают из виду. Эта утрата информации означает, что экономика, которая работает только на основе ценового вектора, будет двигаться наощупь, имея лишь самое приблизительное представление о действительности. Это, конечно, прямая противоположность тезиса, выдвинутого Мизесом.

В конечном счете, Нейрат утверждал, что натуральное вычисление необходимо как для того, чтобы сделать возможным обсуждение с политической точки зрения целей плана экономического развития, так и для того, чтобы гарантировать последовательность плана. Мизес не имеет эффективного возражения по первому пункту и концентрирует огонь своей критики на втором. Мизес признаёт, что, если бы не существовало никаких изменений в технике, то экономический учёт в натуральной форме, подобный предложенному Нейратом, сделал бы возможным длительное функционирование социалистической экономики. Вопрос переходит в плоскость выбора одного из альтернативных методов. Хотя Нейрат был уверен в том, что это возможно, он не давал ответа на вопрос о том, каким образом это должно осуществляться на практике. Он не предлагает процедуры или алгоритма, при помощи которых может быть произведена оценка сравнительной технической эффективности при использовании натурального учёта.

В таком случае возникает вопрос: существуют ли, независимо от работы Нейрата, алгоритмы для вычислений в натуральной форме с функцией, аналогичной той, которую Мизес видел в качестве основной для экономического расчёта?

Мы докажем, что более поздние авторы, работавшие спустя два десятилетия после выдвижения Нейратом его предложений, смогли сначала получить математические доказательства того, что существуют решения для системы натурального расчёта, а затем предложить практические алгоритмы, позволяющие находить такие решения.

3.2 Фон Нейман

У следующих двух актеров нашей драмы есть определенные общие черты. И фон Нейман, и Канторович были математиками, а не экономистами. Вклад в экономику был лишь одним из результатов их исследований. Оба учёных были отчасти задействованы в ранних программах по разработке ядерного оружия для США и СССР [50] соответственно. Что касается фон Неймана, то связь его экономической деятельности с атомной физикой была более чем случайной. Одним из его крупных достижений была математическая формализация квантовой механики [61], которая объединила матричную механику Гейзенберга с волновой механикой Шрёдингера. Его работа над квантовой механикой совпала с первым проектом модели [39] экономического роста, изложенной в 1932 году на лекции в Принстоне. В обеих областях он использует векторные пространства и матричные операторы для векторных пространств, комплексных векторных пространств в квантово-механическом случае и действительных векторных пространств в модели роста. Курц и Сальвадори [30] утверждают, что модель роста фон Неймана должна рассматриваться как ответ на предшествующую работу социалистически настроенного математика Ремака [48], который работал над концепцией «суперпозиции цен».

Ремак затем вводит понятие «суперпозиции цен» для экономической системы, находящейся в неизменных условиях, в которой есть столько же процессов производства отдельных продуктов, сколько существует продуктов, и каждый процесс или продукт представлен различными «персонами» или скорее видами деятельности или производствами. Количество различных предметов потребления, приобретенных человеком в определенный промежуток времени в обмен на его или её собственный продукт, аналогично количеству производственных мощностей, необходимых для производства данного продукта, и количеству продуктов потребления, необходимых для жизни человека (его или её семьи), в соответствии с существующими жизненными стандартами. При введении соответствующих единиц измерения полученная система «суперпозиции цен» может быть записана следующим образом:

p^T= p^TC

где C — расширенная матрица затрат на единицу продукции, а p — вектор обменных отношений. Рассматривая данную систему, Ремак пришел к выводу, что она имеет решение, которое полуположительно и уникально за исключением коэффициента пропорциональности. Система обращается к своего рода идеальной экономике с независимыми производителями, в которой отсутствует заработная плата и, следовательно, прибыль. С точки зрения Ремака это может также быть истолковано как социалистическая экономическая система. [30]

Математические ссылки Ремака на зарождающуюся в то время матричную механику поражают: язык суперпозиций, использование унитарного матричного оператора C, аналогичного эрмитовым операторам в квантовой механике 9 . Однако каково экономическое значение теории Ремака для дискуссии о социалистическом расчёте?

Оно в следующем. Ремак впервые показывает, как, начиная с описания условий производства в натуральной форме, можно получить равновесную систему цен. Это подразумевает, что натуральная система содержит информацию, необходимую для ценообразования, и что цены представляют собой проекцию натуральной системы на пространство меньшей размерности 10 . Если это так, то любые вычисления, которые могут быть проделаны с данными в редуцированной системе p, могут быть в принципе выполнены и при помощи некоторой алгоритмической процедуры, берущей за основу C. Ремак выражает уверенность в том, что с развитием электрических вычислительных машин необходимые большие системы линейных уравнений станут решаемы.

Слабость анализа Ремака состоит в том, что он ограничивается экономикой, находящейся в устойчивом состоянии. И Мизес признавал, что социалистический расчёт возможен при таких обстоятельствах.

Фон Нейман продолжил обсуждение в двух различных направлениях:

1. Он моделирует растущую, а не статичную экономику. Экономика рассматривается в состоянии однородного пропорционального роста. Фон Нейман прямо отказывается от рассмотрения факторов ограниченности природных или трудовых ресурсов, предполагая взамен, что трудовые ресурсы могут быть увеличены, чтобы обеспечить рост. Возможно, это не так уж фантастично по отношению к экономике, подвергающейся быстрой индустриализации (например, экономике Советской России во времена написания работы фон Неймана).

2. Он учитывает существование множества методов производства каждого продукта, в то время как Ремак предполагает только один. Эти различные методы производства используют разные наборы ресурсов, и только некоторые из этих методов будут воплощены в жизнь.

Фон Нейман использует идею технологической матрицы, введенной Ремаком, но разделяет её на две матрицы: A, содержащую сведения о продуктах, потребляемых в производстве, и B, содержащую сведения о производимых продуктах. Таким образом, a_ij — количество j-го продукта, используемого в производственном процессе i, а b_ij — количество продукта j производимого в процессе i. Эта формулировка учитывает связанное производство, а также позволяет моделировать изнашивание средств производства следующим образом: процесс производства расходует новые машины и производит, как побочный продукт, старые, изношенные машины. Число процессов не обязательно должно равняться числу различных видов продуктов, следовательно, мы не обязательно имеем дело с квадратными матрицами.

Как и Ремак, фон Нейман предполагает существование ценового вектора y, но вдобавок к нему вводит также вектор интенсивности x, касающийся каждого производственного процесса. Мы покажем ниже, что та же самая формулировка используется Канторовичем. Две оставшихся переменных β и α — процентная ставка и темп роста экономики соответственно.

Фон Нейман делает два дополнительных предположения. Первое: «Не существует никакой прибыли». Под этим он подразумевает то, что все процессы производства с положительной интенсивностью возвращают доход, равный процентной ставке. Прибылью считается только доход, превосходящий процентную ставку. Это также означает, что не существует процессов, приводящих к убытку (с выходом меньше чем β). Второе предположение фон Неймана: цена любого продукта, произведенного в чрезмерном количестве, равна нулю.

Далее он показывает, что в этой системе существует состояние равновесия, в котором есть уникальный темп роста α = β, а также определённые векторы интенсивности и цен. Интенсивность и цены высчитываются одновременно.

Каковы существенные результаты?

— Натуральные методы, доступные экономике, представленной в виде матриц A и B, определяют, какие процессы производства должны использоваться и с какой интенсивностью.

— Они также определяют набор равновесных цен. Никакой системы субъективных предпочтений для этого не требуется.

— Натуральные методы также определяют темп роста и процентную ставку.

Какова социальная составляющая этой модели?

Она туманная. Говоря о капиталистической экономике, придется делать сказочное предположение: вся прибыль реинвестируется и проценты из выплат банкам превращаются в бухгалтерскую условность. Также неясно, как реальная капиталистическая экономика может достичь найденного равновесного пути. Сраффа [52] представил весьма похожую модель, явно связывая её с капиталистическим производством, но допустил капиталистическое потребление свыше процента на капитал. В отсутствие капиталистического потребления модель фон Неймана может, вероятно, рассматриваться как один из видов административной экономики. В то же время это будет экономика с по крайней мере расчётными ценами и воображаемым учётным платежом за использование капитала. Если фон Нейман всё-таки имеет в виду капиталистическую экономику, то ему необходимо доказать, что два его условия — о нулевых ценах за производимые сверх спроса товары и абсолютно однородной норме прибыли — могут быть достигнуты посредством рыночной конкуренции. Доказательство этого было бы весьма нетривиальным. Есть серьёзные причины подозревать, что однородная норма прибыли не может быть достигнута в динамических моделях этого типа [18].

Если мы предположим, что фон Нейман описывает административную экономику, то она значительно отличается от идей Нейрата из-за существования хотя бы административного ценового вектора. Но этот ценовой вектор возникает, наряду с процентной ставкой, исключительно из натуральной структуры экономики; итак, цены, как и у Ремака, — производное подпространство. В работе фон Неймана, однако, отсутствует описание процедуры, при помощи которой может быть найдено равновесное решение для экономики. Он доказывает существование такого решения, но не дает средства для его нахождения.

Если у нас нет связанного производства и существует только один процесс производства каждого продукта, то найти решение для модели фон Неймана сравнительно просто. Предположим, что у нас есть несколько видов продуктов, одним из которых является зерно, с фон-неймановскими матрицами A, B, которые являются квадратными, и B = I. Предположим далее, что у нас есть переменные из таблицы 1, тогда алгоритм 1 найдет цены, темп роста и интенсивность, максимально близкие к решению фон Неймана в зависимости от заданного e.

Если A, B имеют значения, данные в таблице 2, то с e = 0.001 алгоритм дает приблизительное решение, показанное в нижней части таблицы 2.

Таблица 1. Переменные, использованные в алгоритме 1.

Алгоритм 1. Решение модели фон Неймана без выбора методов производства

начало

начальные интенсивности x ← T;

начальные цены y ← 1;

предполагаемая прибыль β ← 0.2;

повторить

β ← α;

вычисляем затраты на единицу c ← (A.y) × (1 + β);

устанавливаем ценыy ← c;

рассчитываем использование μ ← Σ(A^T × x)

sales ← x.y;

n ← x – μ;

costs ← y.μ;

пересчитываем прибыль β ← (sales-costs)/costs

x ← 0,5×(x+μ×(1+α))

Строка выше будет смещать y в направлении соотношения, в котором физические пропорции ресурсов и выпускаемой продукции будут одинаковыми

пока |β-α|<ε

конец.

Таблица 2. Примеры матриц A и B и решение фон Неймана которое им соответствует

α = 1,01806

β = 1,01806

3.3. Метод Канторовича

В начале 30-х не были известны алгоритмические методы, позволяющие решить более общую задачу, включающую связанное производство и множество возможных способов производства каждого продукта. Но в 1939 [25] советский математик В. Канторович открыл метод, который позже стал известен как линейное программирование или линейная оптимизация, за который он был позже награжден Сталинской и Нобелевской премиями. О своём открытии он писал:

Я обнаружил, что широкий диапазон задач самого разнообразного характера, касающихся научной организации производства (вопросы оптимального распределения работы машин и механизмов, минимизации отходов, лучшего использования сырья и местных материалов, топлива, транспортировки, и так далее), приводит к формулировке единственной группы математических задач (экстремальные задачи). Эти задачи не могут быть напрямую сопоставлены задачам, рассматриваемым в математическом анализе. Если выражаться точнее, формально они подобны, и даже, как оказывается, с формальной точки зрения очень просты, но методы, применяемые для их решения в математическом анализе, фактически полностью непригодны для практики, так как требуют решения десятков тысяч или даже миллионов систем уравнений. Я преуспел в том, чтобы найти сравнительно простой общий метод решения этой группы задач, который применим ко всем задачам, которые я упомянул, и достаточно прост и эффективен для их решения, которое становится практически достижимым. ([25], стр. 368)

Существенным в работе Конторовича было его открытие: основываясь на описании в простых физических терминах различных доступных методов производства, можно затем использовать определенную математическую процедуру, чтобы определить, какая комбинация методов лучше всего достигнет целей плана. Он косвенно бросил вызов фон Мизесу 11 , как доказывая, что расчёт в натуральной форме возможен, так и показывая, что может существовать не денежная объективная скалярная функция: степень, в которой достигнуты цели плана.

Таблица 3. Первый пример Канторовича.

Таблица 4. Примеры производственных назначений, данные Канторовичем.

Практические задачи, решением которых был занят Канторович, были связаны с производством фанеры. Он хотел определить самый эффективный способ использования ряда машин в целях максимизации объёма выпускаемой продукции. Предположим, что производство конечного продукта требует использования двух компонентов, A и B. Вместе они должны быть поставлены в равных количествах. У нас также есть три типа машин, производительность которых показана в таблице 3.

Предположим, что каждая машина производит равные количества A и B. Три фрезерных станка могут выдать в час 30 единиц A или 60 единиц B. Если эти три станка производят A в течение 40 минут, а затем B в течение 20 минут, то за час они произведут 20 единиц каждого продукта. Применяя подобное разделение времени, мы можем производить по 36 A и B на револьверных токарных станках и по 21 A и B на автоматическом револьверном токарном станке (Таблица 4).

Но Канторович далее показывает, что такое использование станков не является оптимальным. Если мы будем использовать автоматический токарный станок только для производства B, револьверные токарные станки только для производства A, а время фрезерных станков разделим таким образом, чтобы они тратили по 6 минут в час на производство B, а остальное время на производство A, то общий объем производства в час повысится с 77 единиц A и B до 86 единиц A и B.

Главная идея заключается в том, что каждый станок должен быть по возможности использован для производства того продукта, в изготовлении которого он обладает наибольшей относительной эффективностью. Относительная эффективность производства A/B для этих трех видов станков составляет: для фрезерного станка 1/2, для карусельного токарного станка — 2/3 и для автоматического токарного станка — 3/8. Очевидно, что карусельный токарный станок наиболее эффективен при производстве A, автоматический токарный станок наиболее эффективен при производстве B, а фрезерный имеет равную относительную эффективность при производстве этих продуктов. Таким образом, автоматический токарный станок должен производить только B, токарные карусельные станки — только A, а время фрезерных станков должно разделяться, чтобы обеспечить производство равного количества каждого продукта.

Рисунок 1. Пример Канторовича представленный в виде диаграммы. Луч плана включает в себя все точки, в которых производство A равняется производству B. Граница производственных возможностей состоит из отрезков, наклоны которых соответствуют относительной производительности различных станков при производстве A и B. Вместе эти отрезки образуют многоугольник. Наилучшее достижение целей плана соответствует точке пересечения лучом границы этого многоугольника.

Процесс принятия решения схематически показан на рисунке 1. Ключ к построению диаграммы и к алгоритму решения — упорядочение станков по их относительной производительности. Сделав это, вы получите выпуклый многоугольник, стороны которого соответствуют различным машинам. Уклоны сторон — относительная производительность станков. Слева расположена сторона, соответствующая станку, который обладает наибольшей относительной эффективностью при производстве B; затем следуют станки в порядке убывания относительной производительности. Поскольку относительная производительность монотонно уменьшается, граница будет гарантированно выпуклой. Затем необходимо найти пересечение границы многоугольника с лучом, исходящим из начала координат, и имеющим наклон 45 градусов. Этот луч представляет собой производство A и B в одинаковом объёме. Найденная точка пересечения — оптимальный способ выполнения плана. Использование термина «линейное программирование» обусловлено тем фактом, что функции производства представлены в виде прямых для 2 продуктов, плоскостей для 3 продуктов, и для более сложных случаев — линейными функциями. То есть функциями, в которых переменные могут присутствовать только в первой степени.

Уклон границы, с которой пересекается луч плана, Конторович назвал разрешающим отношением. Любой станок, уклон границы для которого меньше величины этого отношения, нужно использовать для производства B, а любой станок, уклон границы для которого больше разрешающего отношения, должен быть использован для производства A.

При рассмотрении двух продуктов метод прост и легко может быть представлен в виде схемы. Но он применим и для решения задач более высоких порядков, подразумевающих рассмотрение трёх и более продуктов. В этих случаях мы не можем использовать графическое решение, но Канторович разработал алгоритмическое, при помощи которого разрушающие отношения для различных пар продуктов могут быть получены путём последовательных приближений. Работа Канторовича была неизвестна за пределами СССР до конца 50-х годов. Чуть ранее Данциг независимо от Канторовича разработал подобный алгоритм для решения задач линейного программирования, так называемый симплекс-метод [12]. Впоследствии этот метод был включен в свободно распространяемые программные пакеты 12 . Эти пакеты позволяют ввести задачу в виде системы линейных уравнений или линейных неравенств, а затем решают её.

Алгоритм 2. Пример Канторовича представленный в виде уравнений для ввода в lp_solve

A;
m1 <= 3;
m2 <= 3;
m3 <= 1;
A­­ – B = 0;
m1 – 0.1 x1a – 0.05 x1b = 0;
m2 – 0.05 x2a – 0.033333 x2b = 0;
m3 – 0.033333 x3a – 0.0125 x3b = 0;
x1a + x2a + x3a – A = 0;
x1b + x2b + x3b – B = 0;
int A;

На Западе линейное программирование использовалось для того, чтобы оптимизировать использование производственного оборудования в условиях капиталистического рынка. Это означало, что целевая функция, которая максимизировалась, представляла собой не фиксированное соотношение различных видов продукции (в первом примере Канторовича — равное количество продуктов A и B), а сумму денег, которые будут получены от продажи продукции: цена A × количество A + цена B × количество B. Руководства и учебники, основывающиеся на западных программных пакетах для решения задач линейного программирования, предполагают именно такой вид целевой функции. Однако, как мы вскоре увидим, задачи Канторовича могут быть сформулированы при помощи этих программных пакетов путём добавления дополнительных уравнений. Сейчас мы покажем, как можно использовать пакет lp_solve, чтобы воспроизвести решение Канторовичем его задачи.

Программа требует, чтобы вы ввели выражение, которое будет максимизировано или минимизировано, а затем последовательность уравнений или неравенств. В Алгоритме 2 мы приводим задачу Канторовича в формате, которого требует lp_solve. В этом примере мы используем следующие переменные:

A — количество произведенных единиц A;

B — количество произведенных единиц B;

m1 — количество использованных фрезерных станков;

m2 — количество использованных токарных карусельных станков;

m3 — количество использованных автоматических карусельных токарных станков;

xij — количество единиц j, произведённых на машине i.

Таким образом, x1a означает количество A, произведённых на фрезерных станках.

Первая строка входных данных — целевая функция, которая будет максимизироваться. Мы задаем её как A, что означает максимизацию производства A. Следующие строки задают ограничения, в рамках которых должен производиться процесс максимизации.

A – B = 0

Это другой способ записи того, что A = B, или того, что должно быть произведено равное количество A и B.

m1 <= 3

Это значит, что количество использованных фрезерных станков должно быть меньше или равно 3. Символы «<» и «=» использованы здесь, так как «≤» отсутствует на компьютерной клавиатуре. Аналогичные ограничения введены и для других станков.

m1 – 0.1 x1a – 0.05 x1b = 0

Это выражение точно определяет следующее: m1 = 0.1 x1a + 0.05 x1b = 1/10 x1a + 1/20 x1b или, в словесном выражении, что использование фрезерного станка для производства единицы A требует 1/10 часа его работы, а использование фрезерного станка для производства единицы B требует 1/20 часа его работы. Мы приводим аналогичные производственные уравнения для других видов станков.

x1a + x2a + x3a – A = 0

Это уравнение говорит о том, что суммарное количество произведённых A равно сумме количеств A, произведённых каждым станком. Мы приводим аналогичное уравнение и для B.

Заметим, что все выражения должны быть представлены в таком виде, чтобы в левой части содержались константы и переменные, а в правой — только константы. Привести выражения к такому виду довольно просто. Последняя строка входных данных содержит указание на то, что количество производимых единиц A должно быть целым числом. Когда уравнения вводятся в lp_solve, то он выдаёт следующий ответ:

Value of objective function: 86
Actual values of the variables:
A 86
B 86
x1a 26
x1b 6
x2a 60
x2b 0
x3a 0
x3b 80
m1 2.9
m2 3
m3 1

Что в точности воспроизводит собственное решение Канторовича (таблица 4), полученное при использовании его алгоритма.

3.4. Обобщение подхода Канторовича

В первом примере Канторович имеет дело с очень простой задачей, в которой два продукта производятся в равных пропорциях с использованием небольшого набора станков. Он знал, даже в 1939, что потенциал применения математического планирования намного шире. Мы разберём две задачи, рассмотренные Канторовичем, которые важны для более общей формулировки метода.

1. Производство продукции в заданном отношении, а не в строго равных количествах.

2. Принятие во внимание потребления сырья и других ресурсов.

Предположим, что вместо того, чтобы стремиться произвести одну единицу A для каждой единицы B, как это было бы, скажем, в случае автомобильных кузовов и автомобильных двигателей, мы хотим произвести 4 единицы A для каждой единицы B, как это было бы в случае соответствия колес двигателям (при игнорировании запасных колес). Метод Канторовича можно использовать и в этом случае. Рассмотрим рисунок 1 вновь. На нём луч плана изображён под углом 45°, при котором он проходит через точку (1;1), что соответствует отношению числа A к числу B, равному 1:1. Если бы мы повернули луч плана таким образом, чтобы он проходил через точку (4;1), что соответствует отношению 4:1, то его пересечение с границей производства дало бы нам новое решение. Так как геометрический подход работает только для случая с двумя продуктами, рассмотрим алгебраическую реализацию.

Как было продемонстрировано, первоначальная задача 13  Канторовича может быть решена алгебраическими средствами. В Алгоритме 2 мы определили это A – B = 0 или, другими словами, A = B. Если нам необходимо 4 единицы A для каждого B, мы должны указать, что A = 4B или, изъясняясь в стандартной форме, используемой при линейной оптимизации, A – 4B = 0. Предположим, что A — это количество двигателей, а B — количество колес. Если мы теперь представим, что колёса поступают в наборах из 4 штук, то мы можем переформулировать задачу с точки зрения производства равного количества двигателей и наборов колес. Введём новую переменную β = 4B, чтобы обозначить наборы колес, перепишем уравнения с точки зрения β, и перейдём, таким образом, к случаю, при котором уравнение, определяющее соотношение продукции, имеет вид A – β = 0. В этом случае, как нам известно, задача является разрешимой.

Каким образом мы можем учитывать потребление сырья или промежуточных продуктов?

В нашем предыдущем примере мы использовали переменные, подобные x1b (производство продукта B станком 1). Эти переменные всегда имели положительные значения. Предположим, есть третий продукт, который принимается в расчёт — электроэнергия, и каждый станок потребляет электроэнергию в разном объёме, в зависимости от того, что он производит. Обозначим электроэнергию C и введём новые переменные x1ac, x1bc и т.д., обозначающие объём электроэнергии, потребляемый станком 1 при производстве, соответственно, продуктов A и B. Затем добавим уравнения, определяющие, сколько электроэнергии потребляется каждым станком при выполнении каждой задачи, и модель определит общую сумму потребляемой электроэнергии.

Теперь мы знаем, каким образом:

1. Использовать подход Канторовича в случае, если различные виды продукции должны быть произведены в определенных отношениях.

2. Использовать его в случаях, когда необходимо принять во внимание потребление сырья и других ресурсов.

Если мы можем решить эти две задачи, то можем, в принципе, осуществить расчёт в натуральной форме для всей плановой экономики. При наличии конечного набора продуктов потребления и средств производства для максимизации, а также данных о наличии ресурсов, можно решить систему линейных уравнений и неравенств и, тем самым, получить структуру плана. Начиная с простой задачи, оптимизируя производство фанеры на различных станках, Канторович придумал математический подход, который мог быть расширен для решения задачи оптимизации функционирования экономики в целом.

3.2. Второй пример

Давайте рассмотрим более сложный пример, в котором мы должны составить план для относительно простой экономики. Представим себе экономику, в которой производится три вида продукции: энергия, пища и машины. Производство использует труд, ветер и силу речной воды, а также два типа почвы: плодородную землю долины и менее плодородную горную местность. Если мы строим дамбы, чтобы использовать силу воды, часть плодородной земли затопляется. Сила ветра, с другой стороны, может быть использована на холмистой земле, не ставя под угрозу ее употребление для сельского хозяйства. Мы хотим составить план, который обеспечит наиболее рациональное использование наших ограниченных ресурсов: людей, рек и земли.

Чтобы осуществить рациональное планирование, мы должны знать соотношение конечной продукции — луч Канторовича. Для простоты предположим, что конечное потребление должно состоять из пищи и энергии, и что мы хотим потреблять их в отношении 3 единицы пищи на одну единицу энергии. Мы также должны составить уравнения, касающиеся производительности различных технологий и объёма доступных ресурсов.

Долины более плодородны. Когда мы выращиваем пищу в долинах, каждая долина требует 10 000 рабочих, 1000 машин и 20 000 единиц энергии для производства 50 000 единиц пищи. Если мы выращиваем пищу в горах, то каждая горная область производит только 20 000 единиц пищи, используя 10 000 рабочих, 800 машин и 10 000 единиц энергии.

Электроэнергия может быть произведена двумя способами. Гидроэлектростанция производит 60 000 единиц энергии, используя одну долину, 100 рабочих и 80 машин. Ветроэлектростанция производит 500 единиц электричества, используя 4 рабочих и 6 машин, но земля, на которой она расположена, может также использоваться для сельского хозяйства.

Предположим, что производство одной машины требует 20 единиц электроэнергии и 10 рабочих.

Наконец, ограничим себя в объёме рабочей силы, которая составит 104 000 человек.

Таблицы 5 и 6 показывают, как выразить ограничения, накладываемые на экономику, и план в виде уравнений. Если мы введём их в lp_solve, мы получим план, показанный в таблице 7. Решатель уравнений показывает, что цели плана могут лучше всего быть достигнуты при отсутствии дамб, производстве всего электричества при помощи 541 ветряной мельницы, и использовании речной долины для сельского хозяйства.

Таблица 5. Переменные в рассматриваемой экономике

Таблица 6. Ограничения и производство ресурсов в рассматриваемой экономике

Таблица 7. Экономический план для рассматриваемой экономики, полученный при помощи lp_solve

План также показывает, как лучше всего распределить рабочую силу: 40000 человек должны быть задействованы в сельском хозяйстве в долине, 109 человек должны работать фермерами в горной местности, 2164 человека должны участвовать в выработке энергии, и 61727 человек должны работать на производстве машин.

Результаты, полученные нами, ни в коем случае не были очевидны с самого начала. Не было изначально ясно, что лучше использовать все речные долины для сельского хозяйства вместо того, чтобы строить дамбы на некоторых из них. На самом деле преимущество гидроэлектростанций или ветроэлектростанций зависит от целой системы факторов, а не только от их индивидуальных норм производства электроэнергии. Мы можем проиллюстрировать это, рассмотрев случай, при котором численность работников уменьшается в два раза — до 52000 человек. Если мы введём это ограничение в систему уравнений, то увидим, что оптимальное использование ресурсов изменилось. План теперь предусматривает наличие одной гидроэлектростанции и 159 ветряков. Уменьшите численность работников ещё немного, до 50000 человек, и оптимальный план будет включать затопление двух долин под гидроэлектростанции и построение всего 23 ветряков. Почему? Поскольку население уменьшилось, больше нет в наличии достаточного числа людей для обработки долины и производства сельскохозяйственных машин. В таких условиях более высокое плодородие долин несущественно, поэтому лучше использовать одну или некоторые из них для производства электроэнергии. При использовании подхода Канторовича для социалистического планирования становятся возможными две вещи, которые фон Мизес считал невыполнимыми:

1. План может принимать во внимание ограниченность природных ресурсов — в данном случае земли в долинах реки, которая может быть использована различными способами.

2. Становится возможным рациональный выбор между различными технологиями — в данном случае между ветро- и гидроэлектростанциями, а также между долинным и горным сельским хозяйством.

Вопреки заявлениям фон Мизеса, весь расчёт может быть выполнен в физических единицах без помощи денег или цен.

4. Оценка

Основной аргумент Мизеса связан с использованием цен для достижения рационального использования полуфабрикатов и средств производства. Мизес утверждает, что на практике только денежные цены способны решить эту задачу, но признаёт: в принципе, могут применяться другие системы оценки, например, трудовая стоимость. Канторович тоже всерьёз интересовался проблемой относительной оценки [26], и предложил систему объективно-обусловленных оценок (ООО). Эти оценки отличаются от цен, так как цена предполагает обмен товарами за деньги между двумя владельцами. В СССР все предприятия и продукты принадлежали государству. Перемещение продуктов с одного предприятия на другое не являлось куплей-продажей. ООО были просто отвлеченными числами, используемыми в экономических расчётах, а не отпускными ценами.

Канторович рассматривал ситуацию, где плановики имеют дело с несколькими типами предприятий (A…E), каждый из которых способен производить продукты 1 и 2, и где требуемое соотношение производства продуктов 1 и 2 установлено планом. Каждый тип предприятий A…E имеет различную относительную производительность при производстве этих двух продуктов.

Затем Канторович рассматривал непосредственную доходность производства продуктов 1 и 2 при использовании различных относительных оценок. Согласно некоторым схемам относительной оценки, все предприятия обнаружили бы, что продукт 1 нерентабелен относительно продукта 2, при других схемах — возникала бы прямо противоположная ситуация. Промежуточные схемы оценки позволили бы производить оба вида продуктов, при этом некоторые типы предприятий специализировались бы на 1, а другие на 2. Канторович приводит пример детской одежды, как продукта, производство которого, в соответствии с административно установленными тогда в СССР ценами, было нерентабельным, и если бы предприятиям не предписывалось забыть о доходности, детской одежды производилось бы слишком мало.

Канторович задаёт вопрос: существует ли такая относительная структура оценки, которая позволила бы предприятиям концентрироваться на наиболее ценной продукции и в то же время достигать указанных целей плана? Он приходит к следующим выводам:

1. Среди огромного количества возможных планов всегда есть оптимальный, который максимизирует производство продукции при использовании текущих ресурсов.

2. Для оптимального плана существует набор объективно-обусловленных оценок (ООО) товаров, гарантирующий, что каждое предприятие:

(а) производит продукцию, способствующую максимизации целей плана;

(б), находит, что производство, способствующее максимизации целей плана, является также наиболее выгодным.

3. При использовании произвольных оценок, отличных от ООО, невозможно удовлетворить эти условия, и действия предприятий, максимизирующих прибыль, не будут обеспечивать оптимальное выполнение целей плана.

Важно понимать, что ООО — оценки, которые применяются только для плана, оптимально достигающего определенной цели. Процедура Канторовича для нахождения оптимального плана использовала последовательные изменения ООО и специализации предприятий до тех пор, пока требуемое соотношение производимых продуктов не будет достигнуто и одновременно каждое предприятие не достигнет наибольшей прибыльности. Канторович фактически дал несколько различных математических процедур для того, чтобы найти такой план и систему ООО.

Хотя Канторович утверждал, что труд — в конечном счете единственный источник стоимости, его ООО — это краткосрочные стоимостные оценки, отличающиеся от классической трудовой теории стоимости, которая даёт оценки с точки зрения долгосрочных трудозатрат на воспроизводство товаров (включая затраты на воспроизводство средств производства). Канторовича, напротив, интересуют оценки, которые должны применяться с имеющимися в наличии средствами производства и трудовыми ресурсами. Например, он рассматривает ситуацию оценки электроэнергии относительно труда. Вместо того чтобы дать оценку на основе труда, требуемого для производства электроэнергии, он сначала предполагает, что сумма доступной электроэнергии ограничена — то есть электростанции работают на полную мощность, и затем выясняет, сколько человеко-часов будет высвобождено при использовании дополнительного киловатт-часа электроэнергии. Делается предположение, что ради достижения такой объективной оценки электричества относительно труда:

1. Цели плана должны быть достигнуты,

2. План должен быть оптимален.

Работе Канторовича присущ весьма практический и прагматичный дух, разительно отличающийся от духа работ большинства экономистов-теоретиков, благодаря его настойчивому вниманию к краткосрочным, материальным ограничениям: столько-то мегаватт энергии, такое-то количество режущих станков и т.д.

Почему Канторович так обеспокоен оценками и доходностью?

По-видимому, у этого есть две причины. Для начала отметим, что под максимизацией прибыли Канторович фактически понимал максимизацию ценности продукции. Это следует понимать в контексте советской практики, где шахтам и фабрикам давались указания перевыполнять цели плана. Если речь идёт о производстве какого-то одного продукта, скажем, угля, цель плана могла бы быть определена в тоннах. Но если бы предприятие производило несколько товаров, то цель должна была быть поставлена с точки зрения производства продукции на x рублей. При «неправильной» ценовой структуре предприятия пытались бы максимизировать производство продуктов, имеющих наиболее высокую стоимость, игнорируя продукты с меньшей стоимостью, и в итоге совокупная поставка всех товаров часто осуществлялась бы не в тех пропорциях, которые установили плановики. Эта практика установки целей плана в денежном выражении отражала ограниченную способность Госплана определять детализированные цели в натуральной форме, как указано в [43].

Вторая причина связана с его специфическим алгоритмом для решения задач линейного программирования, который использовал повторяющиеся корректировки начальных ООО, пока оптимальный план не найден.

Эти два аспекта кажутся у Канторовича глубоко связанными, но предположение о наличии указаний для предприятий не выдвигается на передний план.

С компьютерными алгоритмами процесс решения задачи линейного программирования превращается в «черный ящик». Пользователь не должен интересоваться деталями метода вычисления. Использует ли система подход Канторовича, Данцига или Кармаркара — не имеет значения, за исключением тех случаев, когда это затрагивает размер задачи, которая может быть обработана (этот вопрос мы рассматриваем в разделе 5). С компьютерными пакетами ООО более не являются необходимыми для того, чтобы рассчитать план, но, быть может, они все еще годятся, чтобы определить цели для предприятий?

Это зависит от возможностей системы планирования в области обработки информации. Если планирующая система способна разработать полностью детализированные планы, тогда ей, в принципе, достаточно разместить на предприятиях заказы на производство определенного количества каждого продукта. В таком случае предприятия не могли бы жульничать, производя больше продуктов с высокой оценкой и меньше продуктов с низкой оценкой. В самом деле, та же информация, которая необходима для расчёта ООО Канторовича, позволяла бы Госплану разработать детализированные планы для получения натуральных продуктов, с приложенной оценкой.

Остаётся другой уровень, на котором оценки могут быть полезны — когда продукт проектируется на локальном уровне. Если проектировщица холодильника выбирает, какие компоненты использовать в новой модели, то она нуждается в сведениях о том, какие компоненты с общественной точки зрения обладают наибольшей экономичностью, что подразумевает наличие системы оценок. Однако не очевидно, что для таких случаев полный аппарат ООО как необходим, так и достаточен. ООО соответствуют системе предельной стоимости, а не оценке средней стоимости. Они отражают текущие предельные затраты с моментными ограничениями на производство. Использование такой предельной оценки было подвергнуто критике со стороны других советских экономистов [22, 37]. В ретроспективе неясно, являются ли ООО более удачными, чем система оценки средней стоимости, если речь идёт о проектировании на год вперёд или около того. На практике, учитывая стохастические свойства цен в реальной капиталистической экономике [19], сомнительно, что, за исключением некоторых ограниченных продуктов, таких как нефть, различия между средними и предельными затратами являются на Западе существенными.

5. Сложность

Линейное программирование, изначально развитое Канторовичем, дает ответ на утверждение фон Мизеса о том, что рациональный экономический расчёт невозможен без денег. Но только в общих чертах. Линейное программирование может стать практическим решением проблемы лишь в том случае, если существует возможность на практике решить уравнения, требуемые для социалистического плана. Это в свою очередь требует существования практического алгоритма для того, чтобы решить их, и наличия достаточных вычислительных ресурсов, чтобы использовать этот алгоритм. Канторович в приложении к [25] приводит практический алгоритм, который может быть использован при наличии карандаша и бумаги. Алгоритм был достаточно удобен для этих инструментов при решении практических задач скромного масштаба. При решении более масштабных задач Канторович рекомендовал использовать приблизительные методы, такие как агрегацию подобных производственных процессов и рассмотрение их в качестве единого сложного процесса. Хотя алгоритм Канторовича использует ООО, которые автор назвал ранее разрешающими множителями, последующие алгоритмы для линейного программирования не используют их, следовательно, ООО не следует рассматривать как фундаментальное понятие в этой области.

Начиная с разработки линейного программирования в 30-х, вычисление превратилось из процесса, выполняемого людьми-«вычислителями», в процесс, осуществляемый вычислителями электронными. Скорость, с которой могут производиться вычисления, увеличилась во много миллиардов раз. Для решения огромных систем линейных уравнений можно использовать пакеты программ. Но мощны ли компьютеры настолько, чтобы решить задачу планирования всей экономики в целом?

В большой экономике, такой, как экономика бывшего СССР, было вероятно несколько миллионов различных видов промышленных продуктов, начиная от различных типов винтов, шайб и электронных компонентов и заканчивая большими конечными продуктами, такими как суда и авиалайнеры. Хотя в 60-е годы в СССР существовал большой энтузиазм по поводу методов Канторовича, масштаб экономики был слишком велик, что делало невозможным осуществление детального планирования при помощи этих методов с использованием компьютерных технологий того времени. Вместо этого методы Канторовича использовались либо для оптимизации производства на отдельных заводах, либо при составлении агрегированных отраслевых планов, создаваемых для экономики в целом. Как сегодня изменилась ситуация, если принимать во внимание тот факт, что мощность компьютеров со времени падения СССР росла экспоненциальными темпами?

5.1. Классы сложности

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить сложность задачи планирования с доступными вычислительными ресурсами. Измерение сложности — одна из ветвей теории алгоритмов. Алгоритмы классифицированы по классам сложности. Например, вычисление среднего числа из списка n чисел относится к классу сложности n, поскольку количество требуемых для нахождения ответа простых арифметических операций будет пропорционально n. Этот класс сложности называют линейным, поскольку время выполнения алгоритмов на компьютере линейно зависит от размерности входных данных.

Несколько большую сложность, чем линейные алгоритмы, имеют алгоритмы логлинейные. Оказывается, можно отсортировать список из n чисел в порядке возрастания, используя n × log (n) базовых арифметических операций. Задачи, которые или линейны, или логлинейны, принято считать легко решаемыми при помощи компьютеров.

Следующими по сложности являются полиномиальные задачи, в которых число базовых арифметических операций растет как некоторая полиномиальная функция размерности входных данных. Если алгоритм имеет время выполнения, пропорциональное n² или n³, при некоторой размерности входных данных n, то он имеет полиномиальную сложность. В теории алгоритмов полиномиальные задачи расцениваются как поддающиеся обработке с тех пор как, благодаря компьютерам, способным совершать миллиарды операций в секунду, стало возможно решать такие задачи для весьма больших значений n. Например, умножение — задача, для которой время расчёт полиноминально в зависимости от числа цифр в числах. Если вы хотите умножить 17 на 32, вы должны выполнить следующие основные шаги: 2 × 7 = 14, 2 × 10 = 20, 30 × 7 = 210, 30 × 10 = 300, и затем сложить частные произведения. Число шагов умножения будет расти как n², где n — число цифр в числах.

За полиномиальными задачами следует класс NP или недетерминированных полиномиальных задач. Эти задачи вам следовало бы захватить с собой при посещении Дельфийского Оракула, а затем передать жрице, чтобы она дала вам ответ, правильность которого вы могли бы проверить за полиномиальное время. Предположим, что у вас было число x, состоящее из 100 цифр, и вы спросили жрицу, каковы простые делители этого числа, на что она дала ответ, состоящий из одного числа из 47 цифр и второго числа из 53 цифры. Вы могли бы принять этот ответ на веру или же припомнить множество историй о тех, кого вводили в заблуждение при помощи Божественного Оракула, и проверить его. Если жрица была права, то, перемножив эти два числа, вы получите в ответе x. Это умножение потребовало бы осуществления 47 × 53 = 2491 базовых операций, что составляет примерно ?n2 по отношению к длине оригинального числа, которое вы дали жрице. Это говорит о том, что мы можем проверить правильность полученных простых делителей за полиномиальное время.

К сожалению, Оракул в Дельфах давно выведен из эксплуатации, и мы, испытывая недостаток в божественном вмешательстве, доступном когда-то древним, должны найти простые делители мирскими средствами. Мирская и детерминированная процедура должна проверить все простые y ∈ [2; √x] на предмет того, является ли x/y целым числом. Первый найденный y, соответствующий такому условию, является простым делителем. Недостатком такого подхода является необходимость выполнить огромное число проверок. Для числа из 100 цифр мы должны были бы проверить все простые y в диапазоне 2...10⁵⁰, чтобы быть уверенными в обнаружении простого делителя, если он существует. Число тестов, которые будут выполнены, растет как 10^n/2, или, другими словами число тестов растет экспоненциально в зависимости от n. Эту задачу, как и другие из класса экспоненциальных задач, относят к сложным в вычислительном отношении, поскольку количество проверок растет с такой большой скоростью, что быстро исчерпывает мощность даже самого быстрого компьютера. Эта задача в действительности насколько сложна, что определенные шифровальные протоколы [49] полагаются в своей работе на то, что большие простые делители невозможно обнаружить на практике.

5.2 Класс сложности для экономического планирования

После краткого введения в концепцию классов сложности давайте применим эти идеи к экономическому планированию. К какому классу сложности принадлежит линейное программирование?

В течение долгого времени не было известно, принадлежит ли линейное программирование к неполиномиальному классу задач, названному «hard» («трудные») (к этому классу принадлежит задача коммивояжера) или к полиномиальному классу «easy» («лёгкие») (к которому принадлежит задача нахождения кратчайшего пути). В 1970 Виктор Клее [29] и Джордж Минти создали пример, показавший, что классический симплексный алгоритм потребует экспоненциального числа шагов при решении наихудшего случая задачи линейного программирования. В 1978 советский математик Л. Г. Хачиян [28] разработал алгоритм для решения задач линейного программирования, имеющий полиномиальное время выполнения. Это — метод внутренней точки, использующий эллипсоиды, вписанные в область допустимых значений. Хачиян доказал, что время вычисления будет гарантированно меньше, чем полиномиальная функция размерности задачи и количества входных данных. Однако степень полинома, которую он установил, оказалась слишком высокой для того, чтобы этот алгоритм можно было использовать при решении практических задач.

Алгоритм Кармаркара [27] был важным развитием теоретического вывода Хачияна. Кармаркар показал, как задача линейного программирования может быть решена за полиномиальное время. Кроме того, алгоритм Кармаркара был применим для решения задач линейного программирования на практике (Данциг [11]).

Современные пакеты для решения задач линейного программирования совмещают симплекс-метод Данцига с более современными методами внутренней точки. Это позволяет самым последним вариантам решать задачи, включающие до одного миллиарда переменных [21, 20]. Для таких огромных задач используются большие параллельные суперкомпьютеры с более чем тысячей процессоров. Но даже на намного более скромных 4-процессорных компьютерах задачи линейного программирования с миллионом переменных решались за полчаса, при использовании методов внутренней точки 14 .

Этот прогресс в алгоритмах линейного программирования и в компьютерной технологии означает, что линейное программирование отныне может быть применено к детальному планированию в масштабах всей экономики, а не только на агрегированном уровне.

6. Получение луча плана

Согласно Канторовичу, цель плана — оптимизация производства того или иного набора товаров, воплощаемая в луче плана. Это видение отражало практику деятельности советских директоров: они имели определенный набор товаров, намеченных к производству Госпланом. Сотрудники Госплана, однако, должны были самостоятельно определить, каким будет окончательное соотношение производимой продукции. На заре советского планирования, когда Канторович писал свою незаурядную работу, цели, установленные плановиками, были прежде всего направлены на осуществление быстрой индустриализации и на создание оборонительного щита от угрозы вторжения. Процесс планирования был успешным при достижении этих целей. Но в уже индустриально развитой стране, в мирное время, приоритетом становится удовлетворение текущих общественных потребностей, следственно, вектор плана должен быть изменен в этом направлении. Критика экономических систем советского типа (причём не только со стороны их западных хулителей) обычно указывает, что они были безразличны к потребительскому спросу. Поэтому нам важно продемонстрировать, что плановая экономика может быть отзывчивой по отношению к изменяющимся потребительским предпочтениям, что дефицит, очереди и излишки невостребованных товаров, о которых мы слышим так часто, не являются врожденной особенностью социалистического планирования. Экономисты Дикинсон и Ланге, работавшие незадолго до Канторовича, обрисовали в общих чертах практический механизм, при помощи которого эта задача может быть решена [31, 16].

Они предложили, чтобы государственный оптовый сектор работал на сбалансированной основе, используя гибкие цены. Оптовые менеджеры установили бы равновесные цены на продукты, являющиеся товарами народного потребления. Эти оптовые цены стали бы руководством для плановиков, сигнализируя им, увеличить или уменьшить производство специфических линий продуктов. Если цены высоки, то необходимо увеличить производство продуктов этой линии, в противном случае объёмы запланированной продукции нужно уменьшить.

Основная идея ясна: предлагается использовать тот же принцип, который регулирует производство товаров народного потребления в капиталистической экономике. Но тогда возникает вопрос, как определить, высока цена или низка. Относительно какой?

На какой основе делаются оценки?

После ложного недопущения возможности планирования в натуральной форме Мизес допустил, что социалистические плановики могли бы использовать «объективно распознаваемые единицы, имеющие значение», то есть, некоторые измеримые свойства товаров, которые можно использовать для выполнения экономических расчётов. Мизес нашёл единственного кандидата на роль такой единицы — количество труда, как в теориях стоимости Рикардо и Маркса. Последний предложил платить рабочим зарплату трудовыми чеками, и в них же оценивать продукты [33]. Мизес закончил тем, что отклонил труд как единицу стоимости; у него было два соответствующих аргумента, каждый должен был показать, что количество труда не может быть основой адекватной меры стоимости производства. Эти аргументы касаются пренебрежения затратами природных ресурсов, которые выражены неявно при использовании трудовых стоимостей, а также неоднородности труда. Критика Мизесом трудовых стоимостей весьма кратка и отрывочна. Примерно две страницы основных аргументов появляются в [58] и воспроизведены в [60]. Это, несомненно, отражает следующее положение вещей: хотя Маркс и Энгельс настаивали на том, что планирование есть распределение трудового времени, эта концепция была более или менее отвергнута англоязычными социалистическими экономистами к концу 30-х. Ни Ланге, ни Дикинсон не полагались на классическую теорию стоимости в своей аргументации. В 1930 Аппель [1] в своей работе тщательно доказывал уместность трудовой теории стоимости для социалистической экономики, но его идеям не придали значения. Более современные авторы вновь обратили внимание на теорию стоимости Маркса как на путеводную нить для социалистического планирования [17, 46, 45, 9].

Основной принцип этих схем может быть описан довольно просто. Для всех товаров народного потребления указываются их трудовые стоимости, то есть суммарный объём общественно необходимого труда (в прямой и косвенной форме), необходимого для их производства. Но кроме этого, фактические цены (в трудовых символах) товаров народного потребления будут установлены на уровне, максимально соответствующем равновесной цене. Предположим, что некоторый продукт требует 10 часов рабочего времени для производства. В таком случае для него будет указана трудовая стоимость — 10 часов, но если появится дополнительный спрос на этот продукт при цене в 10 трудовых единиц, то цена будет поднята, чтобы (приблизительно) устранить дополнительный спрос. Предположим, что эта цена достигла 12 трудовых символов. У этого продукта тогда есть отношение равновесной цены к трудовой стоимости 12/10, или 1.20. Плановики записывают эти отношения для каждого продукта потребления. Данное отношение должно меняться от продукта к продукту, иногда быть близким к 1.0, иногда быть выше (если на продукт существует повышенный спрос), а иногда ниже (если продукт относительно непопулярен). Плановики тогда используют следующее правило: увеличьте целевое производство товаров с отношением выше 1.0 и сократите целевое производство товаров с отношением меньше 1.0.

Дело в том, что эти отношения представляют собой меру эффективности общественного труда в удовлетворении потребностей потребителя (производстве «потребительной стоимости», в терминологии Маркса) по различным отраслям промышленности. Если отношение равновесной цены к трудовой стоимости продукта выше 1.0, это указывает, что люди желают потратить на предмет больше трудовых единиц (то есть работать больше часов, чтобы приобрести его), чем необходимо для его производства. Но это в свою очередь указывает, что труд, используемый при производстве этого продукта, имеет «социальную эффективность» выше средней. Наоборот, если равновесная цена падает ниже трудовой стоимости, то это говорит нам, что потребители «не оценивают» продукт в его полное трудовое содержание: труд, посвященный этому продукту, имеет эффективность ниже среднего. Паритет, или отношение 1.0, является условием равновесия: в этом случае потребители «оценивают» продукт, с точки зрения их собственного рабочего времени, во столько, во сколько обходится обществу его производство.

Назвать цену продукта, используя рабочее время для его изготовления, можно только, имея возможность высчитать это время. Это может показаться грандиозной задачей, но фактически она заключается в решении системы линейных уравнений, подобной и даже слегка более простой, чем та, которая используется при составлении детализированного плана. Задача поддается вычислению, согласно ранее приведенным аргументам.

Мизес возражал, что «...дефект расчёта с точки зрения труда — игнорирование различных качеств труда» (1935: 114). Мизес обращает внимание на замечание Маркса, что квалифицированный труд может рассматриваться как мультипликатор, и, следовательно, может быть сведён к «простому труду», но утверждает, что нет никакого способа сделать это вне сравнения продуктов различных видов труда в процессе рыночного обмена. Разница в заработной плате может показаться источником решения, но процесс уравнивания в этом случае «является результатом рыночных сделок, а не того, что им предшествует». Мизес предполагает, что социалистическое общество будет использовать уравнительную политику доходов, и поэтому рыночно определяемые уровни заработной платы не будут доступны в качестве отправной точки вычисления. Мизес делает заключение о том, что «расчёт с точки зрения труда приведёт к установлению произвольного соотношения для замены сложного труда простым, что исключает его использование в целях экономического управления» (1935: 115).

Действительно, труд не является однородным, но нет никаких причин считать, что мультипликатор для сложного труда должен быть неопределённым при социализме. Есть два возможных подхода:

1. Квалифицированный труд можно рассматривать таким же образом, как Маркс рассматривает средства производства в «Капитале», а именно, как произведенный ресурс, который «передаёт» овеществлённый в нём труд его продукту в течение долгого времени. Учитывая трудовое время, необходимое для производства навыков, и горизонт обесценивания для этих навыков, можно вычислить предполагаемую «норму передачи» рабочего времени, овеществлённого в навыках. Если мы обозначим эту норму для навыка i, ri, то труд этого типа должен быть посчитан как кратное число (1 + ri) простого труда, с целью «оценки» его продуктов. Необходима итеративная процедура: сначала вычислим нормы передачи для случая, когда все затраты представлены простым трудом, затем используем эти нормы передачи из первого шага, чтобы переоценить квалифицированные трудозатраты, на этой основе повторно вычислим нормы передачи, и так далее, пока схождение не достигнуто.

2. В качестве альтернативы можно использовать подход, предложенный Канторовичем [26] (с. 64—66), в котором он показывает, что квалифицированному труду различных видов можно назначить ООО на основе их различной производительности.

То, какой метод следует использовать, зависит от временных рамок вычисления. Если вы хотите получить краткосрочные ответы на вопрос об относительной оценке различных видов труда, то подходит метод Канторовича. Для рассмотрения в долгосрочной перспективе, когда в целях ускорения в работу может включиться вновь обученный штат, первый способ предпочтительнее.

7. Заключение

Советская математическая школа, основанная Канторовичем, и австрийская школа, представленная Мизесом и Хайеком, имели прямо противоположное мнение насчет жизнеспособности социалистического экономического расчёта. В целом, они не замечали друг друга. Австрийская школа в значительной мере концентрировалась на критике западных экономистов-социалистов, таких как Ланге, а советская школа, по-видимому, целиком отрицала Мизеса. Даже когда участники дискуссии встретились наконец лицом к лицу, проблема не была поднята. Меньшиков пишет:

Интересно, что в своем отчете о командировке в Швецию для получения Нобелевской премии Леонид Витальевич упоминает о неформальном приеме, на котором присутствовали и некоторые американские экономисты — Нобелевские лауреаты прежних лет, в том числе Хайек, Леонтьев и Самуэльсон. Но ни там, ни на других встречах этот вопрос, по-видимому, не поднимался.

В январе 1976 года, когда я работал в США директором Отдела перспективных исследований в ООН, меня попросили представить Л.В. Канторовича, как нового Нобелевского лауреата, на ежегодном съезде Американской экономической ассоциации в Атлантик-сити. Я, естественно, сделал акцент на экономическом открытии лауреата. В дискуссии никто из присутствовавших, среди которых были и Т. Купманс, и Л. Клайн, будущий Нобелевский лауреат, никто не вернулся к вопросу о фактическом ответе Канторовича на часть аргументации Хайека. [37]

Представители австрийской школы восприняли политический крах СССР как долгожданный триумф теории Мизеса. Но экономическая теория не поверяется политикой. Политические поветрия переменчивы. Социализм, политически непопулярный в Европе в 1990-ые, с тех пор достиг внушительного прогресса на другом континенте. Соперничающие экономические теории имеет смысл рассматривать беспристрастно. Канторович достин внимания западных специалистов, обсуждающих социалистический расчёт.

Ссылки

[1] J. Appel, M. Baker, A.A. Deutschlands, and G.I. Kommunisten. Fundamental Principles of Communist Production and Distribution. Movement for Workers’ Councils, von der Kollektivarbeit der Gruppe Internationaler Kommunisten — GIK [Allgemeine Arbeiter Union Deutschlands — AAUD], 1990 (1930).

[2] Aristotle. The Politics. Hutchinson, 1988.

[3] D. Bienstock. Potential function methods for approximately solving linear programming problems: theory and practice. Kluwer Academic Publishers, 2002.

[4] M.L. Bierbrier. The Tomb-Builders of the Pharaohs. American Univ in Cairo Press, 1989.

[5] Paul Cockshott and Allin Cottrell. Information and economics : a critique of Hayek. Research in Political Economy, 18(1):177–202, 1997.

[6] W. P. Cockshott and A. F. Cottrell. Labour time versus alternative value bases: a research note. Cambridge Journal of Economics, 21:545–549, 1997.

[7] W. P. Cockshott and A. F. Cottrell. A note on the organic composition of capital and profit rates. Cambridge Journal of Economics, 27:749–754, 2003.

[8] W.P. Cockshott and A. Cottrell. The Scientific Status of the Labour Theory of Value. IWGVT conference at the Eastern Economic Association meeting, in April, 1997.

[9] Allin Cottrell and Paul Cockshott. Towards a New Socialism, volume Nottingham. Bertrand Russell Press, 1992.

[10] Allin Cottrell and Paul Cockshott. Calculation complexity and planning: the socialist calculation debate once again. Review of Political Economy, 5(1):73–112, January 1993.

[11] G Dantzig. Linear Programming. Operations Research, 50(1): 42–47, 2002.

[12] G. B. Dantzig. Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, Princeton, 1963.

[13] A.R. David. The Pyramid Builders of Ancient Egypt:: a Modern Investigation of Pharaoh’s Workforce. Routledge, 1996.

[14] R. Dawkins. The God Delusion. Houghton Mifflin Co., 2006.

[15] R. Dawkins et al. Unweaving the Rainbow: Science, Delusion and the Appetite for Wonder. Houghton Mifflin Company, 1998.

[16] HD Dickinson. Price Formation in a Socialist Community. The Economic Journal, 43(170):237–250, 1933.

[17] H. Dieterich. La democracia participativa: el socialismo del siglo XXI, Pais. Vasco, Baigorri, 2002.

[18] Michel-Stephane Dupertuis and Ajit Sinha. A sraffian critique of the classical notion of center of gravitation. Technical report.

[19] Emmanuel Farjoun and Moshe Machover. Laws of Chaos, a Probabilistic Approach to Political Economy. Verso, London, 1983.

[20] Jacek Gondzio and Andreas Grothey. Massively parallel implementation of interior point methods for very large scale optimization. In R.Wyrzykowski, J. Dongarra, N.Meyer, and J.Wasniewski, editors, Parallel Processing and Applied Mathematics, Lecture Notes in Computer

Science, 3911, Berlin, September 2006. Springer-Verlag.

[21] Jacek Gondzio and Andreas Grothey. Solving nonlinear financial planning problems with 109 decision variables on massively parallel architectures. In C. A. Brebia, editor, Computational Finance and its Applications II, WIT Transactions on Modelling and Simulation, volume 43. WIT Press, 2006.

[22] Gregory Grossman. Review: Against bourgeois economic pseudotheories of socialism. The American Economic Review, 53(1):211–213, 1963.

[23] KE Iverson. A programming language. Wiley, New York, 1966.

[24] Kenneth E. Iverson. Notation as a tool of thought. In ACM Turing award lectures, page 1979. ACM, New York, NY, USA, 2007.

[25] LV Kantorovich.MathematicalMethods of Organizing and Planning Production. Management Science, 6(4):366–422, 1960.

[26] L.V. Kantorovich. The Best Use of Economic Resources. Harvard University Press, 1965.

[27] N. Karmarkar. Anew polynomial-time algorithm for linear programming. Combinatorica, 4(4):373–395, 1984.

[28] L. Khachian. A polynomial algorithm in linear programming. Soviet Mathematics Doklady, 20:191–194, 1979.

[29] V. Klee and G. Minty. How good is the simplex algorithm. In O. Shisha, editor, Inequalities-III, pages 159–175. Academic Press, 1972.

[30] H.D. Kurz and N. Salvadori. VON NEUMANN’S GROWTH MODEL AND THE’CLASSICAL’TRADITION. Understanding" classical" Economics: Studies in Long-Period Theory, 1998.

[31] Oscar Lange. On the Economic Theory of Socialism. University of Minnesota Press, 1938.

[32] B. Lumpkin. Geometry Activities from Many Cultures. Walch Publishing, 1997.

[33] K. Marx. Marginal Notes to the Programme of the German Workers’ Party [Critique of the Gotha Programme]. Marx and Engels Selected Works, 3, 1970.

[34] Karl Marx. The difference between the democritean and epicurean philosophy of nature. In Marx-Engels Collected Works Volume 1. Progress Publishers, 1841.

[35] Karl Marx. Capital, volume 1. Progress Publishers,Moscow, 1954. Original English edition published in 1887.

[36] S.Meikle. Aristotle’s Economic Thought. Oxford University Press, 1997.

[37] S.M. Menshikov. Topicality of Kantorovich’s Economic Model. Journal of Mathematical Sciences, 133(4):1391–1397, 2006.

[38] G. Michaelson, W. P. Cockshott, and A. F. Cottrell. Testing marx: some new results from uk data. Capital and Class, pages 103–129, 1995.

[39] J. Neumann. A Model of General Economic Equilibrium. Review of Economic Studies, 13(33):1–9, 1945.

[40] O. Neurath. Economic plan and calculation in kind. Otto Neurath: Economic Writings 1904-1945, 2004.

[41] Otto Neurath. The Conceptual Structure of Economic Theory and its Foundations. In Thomas Uebel and Robert Cohen, editors, Economic Writings. Kluwer, (1917) 2004.

[42] Otto Neurath. Economics in Kind, Calculation in Kind and their Relation to War Economics. In Thomas Uebel and Robert Cohen, editors, Economic Writings. Kluwer, (1919) 2004.

[43] Alex Nove. The Economics of Feasible Socialism. George Allen and Unwin, London, 1983.

[44] J. O’Neill. Markets, Socialism, and Information: A Reformulation of a Marxian Objection to the Market. Social Philosophy and Policy, 6(2):200–210, 1989.

[45] A. Peters. Computersozialismus:Gesprache mit Konrad Zuse. Vaduz, 2000.

[46] Arno Peters. Das Aquivalenzprinzip als Grundlage der Global Okonomie. Akademische Verlagsanstalt, 1996.

[47] S. Pinker. The Language Instinct: How the Mind Creates Language. HarperCollins, 2000.

[48] R. Remak. Kann die Volkswirtschaftslehre eine exakteWissenschaft werden. Jahrbucher fur Nationalokonomie und Statistik, 131:703–735, 1929.

[49] RL Rivest, A. Shamir, and L. Adleman. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. Communications, 1978.

[50] L.D. Ryabev and Y.N. Smirnov. The Atomic Project, Science, and the Atomic Industry. Atomic Energy, 99(2):519–527, 2005.

[51] A. M. Shaikh. The empirical strength of the labour theory of value. In R. Bellofiore, editor, Marxian Economics: A Reappraisal, volume 2, pages 225–251.Macmillan, 1998.

[52] Piero Sraffa. Production of commodities by means of commodities. Cambridge University Press, Cambridge, 1960.

[53] A. M. Turing. Computing Machinery and Intelligence. Mind, (49):433–460, 1950.

[54] A. M. Turing. Lecture on the Automatic Computing Engine, 1947 . In B. J. Copeland, editor, The Essential Turing. OUP, 2004.

[55] Alan Turing. On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society, 42:230–65, 1937.

[56] Thomas Uebel. Incommensurability, Ecology,and Planning: Neurath in the Socialist Calculation Debate, 1919–1928. History of Political Economy, pages 309–342, 2005.

[57] CJ Van Rijsbergen. The Geometry of Information Retrieval. Cambridge University Press, 2004.

[58] L. von Mises. Economic calculation in the socialist commonwealth. In F A Hayek, editor, Collectivist Economic Planning. Routledge and Kegan Paul, London, 1935.

[59] L. Von Mises. Socialism: An Economic and Sociological Analysis. Johnathan Cape, 1951.

[60] Ludvig von Mises. Human Action. Hodge and Company, London, 1949.

[61] J. von Neumann. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Engl. transl. of the 1931 German edition by RT Beyer, 1955.

[62] D. Widdows. Geometry and Meaning. Number 172 in CSLI Lecture Notes. University of Chicago Press, 2004.

[63] David Zachariah. Testing the labor theory of value in sweden. http://reality.gn.apc.org/econ/DZ_article1.pdf, 2004.

[64] David Zachariah. Labour value and equalisation of profit rates. Indian Development Review, 4(1):1–21, 2006.

Примечания

1  «Индустриальные рабочие мира» — синдикалистский радикальный международный профсоюз. (прим. переводчика)

2  Эта статья — часть программы систематической работы, нацеленной на помощь этому критическому анализу, предыдущие статьи: [10, 5].

3  О венских работах см. [6, 38, 7, 63, 64, 51, 8]

4  Я позаимствовал этот аргумент у моего коллеги, Алина Коттрелла

5  Пример с железной дорогой дан в [58]. Пример со строительством дома в «Человеческой деятельности» [60].

6  Папирус Ринда — самая ранняя известная коллекция математических задач, включает примеры, где студент должен был вычислить объем и число кирпичей, требуемых для пирамиды.

7  Алгоритмы, используемые Google, требуют решения больших разреженных систем линейных уравнений. Это, как мы увидим позже, тот же тип вычислений, который требуется для планирования в натуральной форме. Для детального изучения методов линейной алгебры, используемых в информационном поиске, см. книгу исследователя из Google Доминика Уиддоуса [62] или [57].

8  Нейрат цитирует [59], с.389

9  Как и эрмитовы операторы в квантовой механике, оператор производства Ремака унитарен, потому что p, собственный вектор C, и |p| остаются неизменным при операции.

10  Предположим, что C — квадратная матрица n×n, а p — n-мерный вектор. Применяя оператор преобразования Айверсона [24, 23] ρ, мы можем редуцировать C до вектора размерности n², таким образом c ← (n×n)ρC, итак мы увидим, что ценовая система, имея n измерений, представляет собой огромное сокращение размерности от n²-размерного вектора c.

11  Не существует никаких причин считать, что он знал о фон Мизесе в то время.

12  Например, lp_solve и GLPK

13  В первоисточнике это была задача «А».

14  См. [3], гл. 4. Гармонический алгоритм для конструирования планов, данный в [9], является экземпляром класса алгоритмов, обсужденных Бинштоком.